Очекивани исходи (шта се очекује да знаш када савладаш градиво)
- изводиш скуповне операције уније, пресека, разлике и правилно употребљаваш одговарајуће скуповне ознаке;
- правилно користиш речи и, или, не, сваки у математичко-логичком смислу;
- израчунаш вредност једноставнијег бројевног израза;
- решиш једноставну линеарну једначину или неједначину (у скупу природних бројева);
- решиш једноставан проблем из свакодневног живота користећи бројевни израз;
- решиш једноставан проблем из свакодневног живота користећи линеарну једначину или неједначину (у скупу природних бројева).
- изводиш скуповне операције уније, пресека, разлике и правилно употребљаваш одговарајуће скуповне ознаке;
- правилно користиш речи и, или, не, сваки у математичко-логичком смислу;
- израчунаш вредност једноставнијег бројевног израза;
- решиш једноставну линеарну једначину или неједначину (у скупу природних бројева);
- решиш једноставан проблем из свакодневног живота користећи бројевни израз;
- решиш једноставан проблем из свакодневног живота користећи линеарну једначину или неједначину (у скупу природних бројева).
ТЕОРИЈСКИ ДЕО
Скуп је основни математички појам који се не дефинише.
Он се описује као целина објеката који имају заједничко својство или особину. Обележавају се великим латиничним словима, на пример: A,B,C,D,S,Y…
Он се описује као целина објеката који имају заједничко својство или особину. Обележавају се великим латиничним словима, на пример: A,B,C,D,S,Y…
Припадност елемената скупу
Скуп је одређен својим елементима који имају неку заједничку особину, а редослед елемената у скупу није важан. Уколико неки елемент припада скупу, то се пише математичким симболом који се чита "елемент" или "припада". На пример, ако кажемо
елемент х припада скупу А, а елемент ѕ не припада скупу А, то би смо математичким симболима приказали на следећи начин:
Посебно издвајамо празан скуп.
Празан скуп је скуп који нема елемената и означава се симболом ∅.
Празан скуп је скуп који нема елемената и означава се симболом ∅.
Једнакост скупова и број елемената скупа
За скупове А и B кажемо да су једнаки ако имају једнаке елементе и пишемо А=B.
На пример:
Следећи скупови су једнаки {a,b,c} = {b,c,a} = {c,a,b} = {b,b,a,c,c,c}
Број елемената скупа назива се кардинални број скупа и означава се оваквим заградама | |. Када видиш да је неки скуп записан у оваквим заградама значи да требаш да пребројиш елементе тог скупа и запишеш број елемената. Сваки елемент у скупу се наводи само једном. Ако је неки елемент наведен више пута, рачуна се само једном.
На пример:
A = {2,4,6,8,10}; B= {1,2,3,3,3}, C jе скуп природних бројева
|A| = 5
|B| = 3
|C| = бесконачан број пошто има бесконачно природних бројева
|∅| = 0
За скупове А и B кажемо да су једнаки ако имају једнаке елементе и пишемо А=B.
На пример:
Следећи скупови су једнаки {a,b,c} = {b,c,a} = {c,a,b} = {b,b,a,c,c,c}
Број елемената скупа назива се кардинални број скупа и означава се оваквим заградама | |. Када видиш да је неки скуп записан у оваквим заградама значи да требаш да пребројиш елементе тог скупа и запишеш број елемената. Сваки елемент у скупу се наводи само једном. Ако је неки елемент наведен више пута, рачуна се само једном.
На пример:
A = {2,4,6,8,10}; B= {1,2,3,3,3}, C jе скуп природних бројева
|A| = 5
|B| = 3
|C| = бесконачан број пошто има бесконачно природних бројева
|∅| = 0
Приказивање скупова
Сваки скуп се може приказати на три начина:
1. Навођењем елемената
2. Веновим дијаграмом
3. Описивањем особина датог скупа.
1. Навођењем елемената
2. Веновим дијаграмом
3. Описивањем особина датог скупа.
1. Начин
НАВОЂЕЊЕ ЕЛЕМЕНАТА ПРИКАЗУЈЕ СЕ СКУП ТАКО ШТО СЕ ЗАПИШУ СВИ ЕЛЕМЕНТИ ДАТОГ СКУПА У ВИТИЧАСТИМ ЗАГРАДАМА.
{ , } - ОВО СУ ВИТИЧАСТЕ ЗАГРАДЕ
Дакле, можемо посматрати скуп парних природних бројева прве десетице А={2,4,6,8,10}
НАВОЂЕЊЕ ЕЛЕМЕНАТА ПРИКАЗУЈЕ СЕ СКУП ТАКО ШТО СЕ ЗАПИШУ СВИ ЕЛЕМЕНТИ ДАТОГ СКУПА У ВИТИЧАСТИМ ЗАГРАДАМА.
{ , } - ОВО СУ ВИТИЧАСТЕ ЗАГРАДЕ
Дакле, можемо посматрати скуп парних природних бројева прве десетице А={2,4,6,8,10}
2. Начин
ВЕНОВ ДИЈАГРАМ ПРЕДСТАВЉА ГРАФИЧКИ НАЧИН ЗАПИСИВАЊА СКУПА.
Овим начином сте приказивали скупове у вртићу, тачније затвореном линијом (изломљеном или кривом) повежеш елементе који имају заједничку особину, они елементи који остану унутар ове линије припадају скупу, док они који остану изван те линије не припадају датом скупу.
ВЕНОВ ДИЈАГРАМ ПРЕДСТАВЉА ГРАФИЧКИ НАЧИН ЗАПИСИВАЊА СКУПА.
Овим начином сте приказивали скупове у вртићу, тачније затвореном линијом (изломљеном или кривом) повежеш елементе који имају заједничку особину, они елементи који остану унутар ове линије припадају скупу, док они који остану изван те линије не припадају датом скупу.
3. Начин
ОСОБИНЕ ДАТОГ СКУПА ОПИСУЈЕМО КОРИШЋЕЊЕМ МАТЕМАТИЧКИХ СИМБОЛА.
На овај начин, математичким језиком записујемо оно што би хтели да искажемо речима.
Тачније,
СКУП = {овде наводимо ознаку елеменaта | особине које одређују елементе скупа}
Усправна црта | се чита "Таквих да" или "са особином да"
На пример, скуп А који садржи парне природне бројеве прве десетице записали би на следећи начин:
ОСОБИНЕ ДАТОГ СКУПА ОПИСУЈЕМО КОРИШЋЕЊЕМ МАТЕМАТИЧКИХ СИМБОЛА.
На овај начин, математичким језиком записујемо оно што би хтели да искажемо речима.
Тачније,
СКУП = {овде наводимо ознаку елеменaта | особине које одређују елементе скупа}
Усправна црта | се чита "Таквих да" или "са особином да"
На пример, скуп А који садржи парне природне бројеве прве десетице записали би на следећи начин:
Овакав математички запис би прочитали: "Скуп А садржи елементе х за које важи да су елементи скупа природних бројева, да су парни (дељиви са 2) и да су мањи или једнаки са 10".
Да би знали овакав начин записивања скупова морате да знате основне математичке симболе:
Подскуп
- ознака да је скуп А подскуп скупа B
За скуп А кажемо да је подскуп скупа B онда и само онда ако је сваки елемент из А уједно и елемент из B.
Простије речено, подскуп скупа је "скуп у скупу".
На пример, све девојчице једног одељења петог разреда представљају подскуп ученика петог разреда. Сви дечаци једне школе представљају подскуп ученика те школе.
Такође, постоји и надскуп. То је скуп који је "изнад скупа", онај вечи скуп. На пример, скуп В је надскуп скупа А.
За скуп А кажемо да је подскуп скупа B онда и само онда ако је сваки елемент из А уједно и елемент из B.
Простије речено, подскуп скупа је "скуп у скупу".
На пример, све девојчице једног одељења петог разреда представљају подскуп ученика петог разреда. Сви дечаци једне школе представљају подскуп ученика те школе.
Такође, постоји и надскуп. То је скуп који је "изнад скупа", онај вечи скуп. На пример, скуп В је надскуп скупа А.
Пример: Одреди све подскупове скупа А = {1,2,3,4}
Да би одредили подскупове неког скупа морамо да знамо да су празан скуп и цео скуп УВЕК подскупови датог скупа.
Ово замисли као да сам те питала да наведеш све подскупове твог одељења. Један подскуп је када цело одељење дође у школу, следећи је када фали један друг, следећи када фале двоје, и тако даље, све док не наведемо све опције и остане нам она када нико није дошао у школу, када је распуст.
РЕШЕЊЕ: Како је скуп А скуп који има 4 елемента он се зове "четворочлани скуп".
Набрајамо подскупове на следећи начин:
1. празан скуп
2. једночлани: {1}, {2}, {3}, {4}
3. двочлани: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}
4. трочлани: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}
5. четворочлани {1,2,3,4}
Дакле, има их 16.
Да би одредили подскупове неког скупа морамо да знамо да су празан скуп и цео скуп УВЕК подскупови датог скупа.
Ово замисли као да сам те питала да наведеш све подскупове твог одељења. Један подскуп је када цело одељење дође у школу, следећи је када фали један друг, следећи када фале двоје, и тако даље, све док не наведемо све опције и остане нам она када нико није дошао у школу, када је распуст.
РЕШЕЊЕ: Како је скуп А скуп који има 4 елемента он се зове "четворочлани скуп".
Набрајамо подскупове на следећи начин:
1. празан скуп
2. једночлани: {1}, {2}, {3}, {4}
3. двочлани: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}
4. трочлани: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}
5. четворочлани {1,2,3,4}
Дакле, има их 16.
Скуповне операције
Пресек скупова
Овај запис читамо:
"Пресек скупова А и В је скуп који садржи елементе х такве да елементи х припадају скупу А и елементи х припадају скупу В"
Тачније, пресек два скупа је скуп који садржи заједничке елементе оба скупа.
За скупове А и B кажемо да су дисјунктни ако и само ако је њихов пресек празан скуп, тачније ако немају заједничких елемената.
Веновим дијаграмом би се пресек приказао на следећи начин:
Пример:
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, пресек та два скупа је нови скуп који садржи заједничке елементе, a то су елементи f и g. Заједнички елементи ових скупова се пишу у средини скупова.
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, пресек та два скупа је нови скуп који садржи заједничке елементе, a то су елементи f и g. Заједнички елементи ових скупова се пишу у средини скупова.
Унија скупова
Овај запис читамо:
"Унија скупова А и В је скуп који садржи елементе х такве да елементи х припадају скупу А или елементи х припадају скупу В"
Тачније, унија два скупа је скуп који садржи елементе оба скупа при чему се исти елементи наводе само једном..
Веновим дијаграмом би се унија приказала на следећи начин:
Пример:
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, унија та два скупа
је нови скуп који садржи све елементе ових скупова, а елементи који се понављају пишу се само једном.
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, унија та два скупа
је нови скуп који садржи све елементе ових скупова, а елементи који се понављају пишу се само једном.
Разлика скупова
Овај запис читамо:
"Разлика скупа А у односу на скуп В је скуп који садржи елементе х такве да елементи х припадају скупу А и елементи х не припадају скупу В"
Тачније, разлика два скупа је скуп који садржи елементе првог скупа који се не налазе у другом скупу.
Памтиш да је ово навођење елемената по којима се скупови разликују.
Веновим дијаграмом би се разлика "А\В" приказала на следећи начин:
Пример:
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, разлика скупа А у односу на скуп В је нови скуп који садржи елементе скупа А који нису у В, док разлика скупа В у односу на скуп А је нови скуп који садржи елементе скупа В који нису у А. Примети да скуп А\B није исти скуп као скуп B\A.
Ако су дати скупови А={g, h, m, f, g} и B={p, i, k, f, g}, разлика скупа А у односу на скуп В је нови скуп који садржи елементе скупа А који нису у В, док разлика скупа В у односу на скуп А је нови скуп који садржи елементе скупа В који нису у А. Примети да скуп А\B није исти скуп као скуп B\A.
Основна својства скупова:
комутативност, асоцијативност, дистрибутивност
Ако се скуповима замени место, а тражи се пресек или унија, онда се неће променити елементи новог скупа. Ова особина се зове КОМУТАТИВНОСТ. Сети се да ова особина важи код сабирања и множења природних бројева и звали сте је "замена места сабирака (чинилаца)".
Ако се скупови групишу код пресека и уније, онда се елементи новог скупа неће променити. Ова особина се зове АСОЦИЈАТИВНОСТ. Сети се да ова особина важи код сабирања и множења природних бројева и звали сте је "здруживање сабирака (чинилаца)".
ДИСТРИБУТИВНОСТ је особина коју користимо када хоћемо да скуп који се понавља код скуповних операција издвојимо "испред заграде", преостали део задатка решимо и онда додамо тај скуп. Наједноставније ћеш разумети ако напишемо ову реченицу: "У нашој продавници се продају јабуке и у нашој продавници се продају крушке."
Зар није једноставније да оно што се понавља кажемо једном?
Тачније, да издвојимо то што се понавља као заједнички скуп и кажемо то на следећи начин
"У нашој продавници се продају јабуке и крушке."
ПРИМЕТИ ДА СЕ НИ У ЈЕДНОЈ ОД ОВИХ ОСОБИНА НЕ ПОЈАВЉУЈЕ РАЗЛИКА СКУПОВА!!! ЗА РАЗЛИКУ СКУПОВА ОВЕ ОСОБИНЕ НЕ ВАЖЕ.
Зар није једноставније да оно што се понавља кажемо једном?
Тачније, да издвојимо то што се понавља као заједнички скуп и кажемо то на следећи начин
"У нашој продавници се продају јабуке и крушке."
ПРИМЕТИ ДА СЕ НИ У ЈЕДНОЈ ОД ОВИХ ОСОБИНА НЕ ПОЈАВЉУЈЕ РАЗЛИКА СКУПОВА!!! ЗА РАЗЛИКУ СКУПОВА ОВЕ ОСОБИНЕ НЕ ВАЖЕ.
СКУПОВНИ ИЗРАЗИ
Пример: Веновим дијаграмом представи скупове A={1,2,3,4,5,6}, B={3,6,9,12} и
C={2,4,6,8,10,12}, затим одреди који елементи припадају скупу:
C={2,4,6,8,10,12}, затим одреди који елементи припадају скупу:
Упутство за попуњавање Веновог дијаграма:
1. Прво се попуни одељак који представља заједничке слементе свих скупова
2. Затим се попуњавају пресеци свака два скупа
3. Дописују се елементи који недостају
ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ - скупови -
1. Веновим дијаграмом прикажи скупове А = {5, 3, 7, 9}, B = {a, e, u}, C = {m, u, 6, 5}. Да ли елемент 6 припада скупу В? Да ли елемент 7 припада скупу С?
2. Колико елемената има скуп С = {7, 2, 8, 9, 11}?
3. Који од, понуђених, скупова су једнаки: A={a,a,a}, B = {a,b}, C={c,b,a}, D={a}, E={b,a}, F={a,b,c,c,c,c}?
4. Да ли је број 0 елемент празног скупа?
5. Наведи све подскупове скупа М={a,f,g,t}.
6. Дати су скупови М= {s,l,o,v,o} и N={x | x је слово абецеде}. Да ли је М подскуп од N или је N подскуп од М?
7. Прикажи Веновим дијаграмом и одреди пресек, унију и разлику датих скупова:
а) A={a,m,g} и B={l, g, h}
б) C={1,2,3,4} и D={5,4,3}
в) H=∅ и L={2,4,6,8}
г) P={1,2,3,4,5}, T={3,4,5,6} и R={10,8,6,4}.
8. Од 100 туриста њих 10 не говори ни италијански ни турски. Ако 83 говори италијански, а 65 турски, колико туриста говори оба језика?
2. Колико елемената има скуп С = {7, 2, 8, 9, 11}?
3. Који од, понуђених, скупова су једнаки: A={a,a,a}, B = {a,b}, C={c,b,a}, D={a}, E={b,a}, F={a,b,c,c,c,c}?
4. Да ли је број 0 елемент празног скупа?
5. Наведи све подскупове скупа М={a,f,g,t}.
6. Дати су скупови М= {s,l,o,v,o} и N={x | x је слово абецеде}. Да ли је М подскуп од N или је N подскуп од М?
7. Прикажи Веновим дијаграмом и одреди пресек, унију и разлику датих скупова:
а) A={a,m,g} и B={l, g, h}
б) C={1,2,3,4} и D={5,4,3}
в) H=∅ и L={2,4,6,8}
г) P={1,2,3,4,5}, T={3,4,5,6} и R={10,8,6,4}.
8. Од 100 туриста њих 10 не говори ни италијански ни турски. Ако 83 говори италијански, а 65 турски, колико туриста говори оба језика?
9. Користећи "и", "или", "не" допуни реченице на основу Веновог дијаграма да реченице буду тачне.
Бројеви 1,2,3,4,5 припадају скупу А ___ скупу В.
Бројеви 2 и 3 припадају скупу А ___ скупу В.
Бројеви 1 и 4 припадају скупу ____ и ____ припадају скупу ___.
Број 5 припада скупу ___ и ___ припада скупу ___.
Бројеви 1,2,3,4,5 припадају скупу А ___ скупу В.
Бројеви 2 и 3 припадају скупу А ___ скупу В.
Бројеви 1 и 4 припадају скупу ____ и ____ припадају скупу ___.
Број 5 припада скупу ___ и ___ припада скупу ___.
10. На такмичењу је освојено 96 диплома, 61 диплома за прво и друго место, а број диплома за прво и треће место је 65.Колико диплома за прво, друго и треће место је освојено?
11. Који скуповни израз приказује обојени део фигуре?
СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА
Скуп природних бројева је први скуп бројева који помињемо у школи.
Најмањи елемент је број 1, док највећи елемент не постоји, јер се скуп природних бројева не завршава (бесконачан је).
Скуп природних бројева настаје тако што најмањем природном броју додамо 1, затим новом броју (броју 2) додамо 1, и тако даље...
Значи да сваки број има свог следбеника, односно n+1 (n je било који природан број), зато је скуп природних бројева бесконачан. Који год број да замислиш, колико год био велики, увек постоји његов следбеник.
Сви природни бројеви се могу записати помоћу цифара {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Бројеви 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 су једноцифрени бројеви.
Бројеви 10, 11, 12, ..., 99 су двоцифрени бројеви.
Бројеви 100, 101, 102, ..., 999 су троцифрени бројеви...
Скуп природних бројева се означава словом N и садржи све ове бројеве и то се краће записује на следећи начин:
N = {1, 2, 3, ...}
Бројеве 10, 100, 1000, 10000, ... зовемо декадне јединице.
Скуп природних бројева са нулом је скуп којем додајемо број 0 на претходно наведене елементе. У овом скупу најмањи елемент је 0, а највећи елемент не постоји. Дакле, број 0 није природан број.
No = N U {0} = {0, 1, 2, 3, ...}
Најмањи елемент је број 1, док највећи елемент не постоји, јер се скуп природних бројева не завршава (бесконачан је).
Скуп природних бројева настаје тако што најмањем природном броју додамо 1, затим новом броју (броју 2) додамо 1, и тако даље...
Значи да сваки број има свог следбеника, односно n+1 (n je било који природан број), зато је скуп природних бројева бесконачан. Који год број да замислиш, колико год био велики, увек постоји његов следбеник.
Сви природни бројеви се могу записати помоћу цифара {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Бројеви 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 су једноцифрени бројеви.
Бројеви 10, 11, 12, ..., 99 су двоцифрени бројеви.
Бројеви 100, 101, 102, ..., 999 су троцифрени бројеви...
Скуп природних бројева се означава словом N и садржи све ове бројеве и то се краће записује на следећи начин:
N = {1, 2, 3, ...}
Бројеве 10, 100, 1000, 10000, ... зовемо декадне јединице.
Скуп природних бројева са нулом је скуп којем додајемо број 0 на претходно наведене елементе. У овом скупу најмањи елемент је 0, а највећи елемент не постоји. Дакле, број 0 није природан број.
No = N U {0} = {0, 1, 2, 3, ...}
Бројевна полуправа је полуправа на којој "живе" бројеви. Бројевну полуправу можеш замислити као улицу на чијем је почетку број 0, а онда, на једнаком растојању кућа чији је власник број, прва кућа је кућа броја 1, друга је кућа броја 2 и тако даље. Пошто се природни бројеви не завршавају, тада се на крају полуправе ставља стрелица која нам говори да се куће у којима "живе" бројеви настављају. Сваки природан број има своје место на бројевној полуправи и различитим природним бројевима одговарају различите тачке (куће) на бројевној полуправи.
Сабирање природних бројева
Резултат операције сабирања је збир, а елементи сабирања се зову први сабирак и други сабирак.
Збир два природна броја m и n се добија тако што се броју m додајемо n јединица.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за сабирање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на сабирање два природна броја.
5+3 =5+1+1+1=6+1+1=7+1=8
Код сабирања важе следећа правила:
1. комутативност (замена места сабирака) a+b=b+a
2. асоцијативност (здруживање) a+(b+c)=(a+b)+c
3. неутрални елемент (елемент са којим можеш да сабираш, а резултат се неће променити) a+0=0+a=a
Резултат операције сабирања је збир, а елементи сабирања се зову први сабирак и други сабирак.
Збир два природна броја m и n се добија тако што се броју m додајемо n јединица.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за сабирање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на сабирање два природна броја.
5+3 =5+1+1+1=6+1+1=7+1=8
Код сабирања важе следећа правила:
1. комутативност (замена места сабирака) a+b=b+a
2. асоцијативност (здруживање) a+(b+c)=(a+b)+c
3. неутрални елемент (елемент са којим можеш да сабираш, а резултат се неће променити) a+0=0+a=a
Упоређивање природних бројева
Свака два природна броја могу се упоредити, тачније утврдити који од њих је већи, односно мањи број.
Ако је број m мањи од броја n, то се математички пише m < n.
Ако је број m већи од броја n, то се математички пише m > n.
Ако је неки број већи од другог броја, значи да постоји неки број који можемо да додамо мањем броју да би добили већи број.
На пример, знамо да је 5>3 јер постоји број 2 који када додамо мањем броју (броју 3) и добијамо онда већи број (3+2=5)
Код упоређивања три броја важи и следеће правило:
ако је први број мањи од другог, а други мањи од трећег, онда је први број мањи од трећег броја
Тачније, ако је m < n и n < p, онда је m < p.
Свака два природна броја могу се упоредити, тачније утврдити који од њих је већи, односно мањи број.
Ако је број m мањи од броја n, то се математички пише m < n.
Ако је број m већи од броја n, то се математички пише m > n.
Ако је неки број већи од другог броја, значи да постоји неки број који можемо да додамо мањем броју да би добили већи број.
На пример, знамо да је 5>3 јер постоји број 2 који када додамо мањем броју (броју 3) и добијамо онда већи број (3+2=5)
Код упоређивања три броја важи и следеће правило:
ако је први број мањи од другог, а други мањи од трећег, онда је први број мањи од трећег броја
Тачније, ако је m < n и n < p, онда је m < p.
Такође, постоје још два знака која користимо код упоређивања:
Одузимање природних бројева
Резултат операције одузимања је разлика, а елементи одузимања су умањеник (први елемент, већи број) и умањилац (други елемент, мањи број).
Разлика два броја је број који нам говори за колико је умањеник већи од умањиоца. Тачније,
Ако је m > n и постоји к такво да је m = n + k, онда је разлика ових бројева m - n = k.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за одузимање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на одузимање два природна броја.
Ако је 10 > 7 и постоји 3 такво да је 10 = 7 + 3, онда је разлика ових бројева 10 - 7 = 3.
Резултат операције одузимања је разлика, а елементи одузимања су умањеник (први елемент, већи број) и умањилац (други елемент, мањи број).
Разлика два броја је број који нам говори за колико је умањеник већи од умањиоца. Тачније,
Ако је m > n и постоји к такво да је m = n + k, онда је разлика ових бројева m - n = k.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за одузимање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на одузимање два природна броја.
Ако је 10 > 7 и постоји 3 такво да је 10 = 7 + 3, онда је разлика ових бројева 10 - 7 = 3.
Множење природних бројева
Резултат операције множења је производ, а елементи множења се зову први чинилац и други чинилац.
Производ два природна броја m и n се добија тако што се број m сабере самим собом n пута.
Код множења важе следећа правила:
1. комутативност (замена места чинилаца) a*b=b*a
2. асоцијативност (здруживање) a*(b*c)=(a*b)*c
3. неутрални елемент (елемент са којим можеш да множиш, а резултат се неће променити) a*1=1*а=a
4. нула елемент (елемент са којим помножимо било који број и опет остане тај елемент, ту особину има 0) а*0=0*а=0
Резултат операције множења је производ, а елементи множења се зову први чинилац и други чинилац.
Производ два природна броја m и n се добија тако што се број m сабере самим собом n пута.
Код множења важе следећа правила:
1. комутативност (замена места чинилаца) a*b=b*a
2. асоцијативност (здруживање) a*(b*c)=(a*b)*c
3. неутрални елемент (елемент са којим можеш да множиш, а резултат се неће променити) a*1=1*а=a
4. нула елемент (елемент са којим помножимо било који број и опет остане тај елемент, ту особину има 0) а*0=0*а=0
Дељење природних бројева
Резултат операције дељења је количник, а елементи дељења су дељеник (први елемент, већи број) и делилац (други елемент, мањи број).
Количник два броја је број који нам говори колико је пута дељеник већи од делиоца. Тачније,
Ако је m > n и постоји к такво да је m = n * k, онда је количник ових бројева m : n = k.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за одузимање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на одузимање два природна броја.
Ако је 15 > 5 и постоји 3 такво да је 15 = 5 * 3, онда је количник ових бројева 10 : 5 = 3.
Ово је дељење без остатка. Више о дељењу ћеш научити ако посетиш страницу ДЕЉИВОСТ
ЈАКО БИТНО: НУЛОМ НЕ СМЕ ДА СЕ ДЕЛИ! НУЛА НЕ СМЕ БИТИ ДЕЛИЛАЦ!
Резултат операције дељења је количник, а елементи дељења су дељеник (први елемент, већи број) и делилац (други елемент, мањи број).
Количник два броја је број који нам говори колико је пута дељеник већи од делиоца. Тачније,
Ако је m > n и постоји к такво да је m = n * k, онда је количник ових бројева m : n = k.
Пример који је приказан у наставку вам је објашњење за одузимање по најосновнијим правилима. Наравно, код учитељице сте ово научили, па је ово само подсећање на одузимање два природна броја.
Ако је 15 > 5 и постоји 3 такво да је 15 = 5 * 3, онда је количник ових бројева 10 : 5 = 3.
Ово је дељење без остатка. Више о дељењу ћеш научити ако посетиш страницу ДЕЉИВОСТ
ЈАКО БИТНО: НУЛОМ НЕ СМЕ ДА СЕ ДЕЛИ! НУЛА НЕ СМЕ БИТИ ДЕЛИЛАЦ!
ПРИОРИТЕТ РАЧУНСКИХ ОПЕРАЦИЈА
1. Када у изразу имамо заграде, прво извршавамо операције унутар њих.
2. Ако немамо заграде, прво изводимо множење и дељење, па онда сабирање и одузимање.
1. Када у изразу имамо заграде, прво извршавамо операције унутар њих.
2. Ако немамо заграде, прво изводимо множење и дељење, па онда сабирање и одузимање.
Израчунавање непознатог члана рачунске операције:
ЈЕДНАЧИНЕ
Поступак решевања једначина уколико се појављује само једна рачунска операција и један непознати члан:
Наравно, ретко се дешава да је једначина тако једноставна. Обично се дешава да се у једначини појављују више рачунских операција. Тада задатак решаваш тако што одговараш на следећа питања:
1. Да ли у задатку постоје заграде? ДА
2. Да ли су у загради само бројеви?
Да, тада решимо рачунску операцију у загради и наставимо задатак
Не, у загради је и непозната. Тада целу заграду посматрамо као непознати члан и решавамо као једначину из таблице, само што је цела заграда х
3. Да ли у задатку постоје заграде? НЕ, прелазимо на следеће питање
4. Да ли је непозната помножена или подељена са неким бројем, а поред тог записа је рачунска операција сабирања иили одузимања?
(на пример пише 2:х-1=0)
ДА, онда цео тај израз (2:х) пишеш као непознати члан једначине и решаваш као једначину из таблице
НЕ, онда изведеш рачунске операције које можеш и решиш једначину као из таблице
1. Да ли у задатку постоје заграде? ДА
2. Да ли су у загради само бројеви?
Да, тада решимо рачунску операцију у загради и наставимо задатак
Не, у загради је и непозната. Тада целу заграду посматрамо као непознати члан и решавамо као једначину из таблице, само што је цела заграда х
3. Да ли у задатку постоје заграде? НЕ, прелазимо на следеће питање
4. Да ли је непозната помножена или подељена са неким бројем, а поред тог записа је рачунска операција сабирања иили одузимања?
(на пример пише 2:х-1=0)
ДА, онда цео тај израз (2:х) пишеш као непознати члан једначине и решаваш као једначину из таблице
НЕ, онда изведеш рачунске операције које можеш и решиш једначину као из таблице
Пример 1.
Пример 2.
НЕЈЕДНАЧИНЕ
Поступак решавања неједначина уколико се појављује само једна рачунска операција и један непознати члан:
У примеру се појављује неједнакост <.
Иста правила важе и за преостале три неједнакости.
У примеру се појављује неједнакост <.
Иста правила важе и за преостале три неједнакости.
Наравно, ретко се дешава да је неједначина тако једноставна. Обично се дешава да се у неједначини појављују више рачунских операција. Тада задатак решаваш тако што одговараш на следећа питања:
1. Да ли у задатку постоје заграде? ДА
2. Да ли су у загради само бројеви?
Да, тада решимо рачунску операцију у загради и наставимо задатак
Не, у загради је и непозната. Тада целу заграду посматрамо као непознати члан и решавамо као неједначину из таблице, само што је цела заграда х
3. Да ли у задатку постоје заграде? НЕ, прелазимо на следеће питање
4. Да ли је непозната помножена или подељена са неким бројем, а поред тог записа је рачунска операција сабирања иили одузимања?
(на пример пише 2:х-1>0)
ДА, онда цео тај израз (2:х) пишеш као непознати члан једначине и решаваш као неједначину из таблице
НЕ, онда изведеш рачунске операције које можеш и решиш неједначину као из таблице
ОВДЕ ЈАКО ВОДИШ РАЧУНА О ЗНАКУ НЕЈЕДНАКОСТИ. АКО ЈЕ НЕПОЗНАТ УМАЊИЛАЦ ИЛИ ДЕЛИЛАЦ ОНДА СЕ МЕЊА ЗНАК НЕЈЕДНАКОСТИ. МОГУЋЕ КЕ О ВИШЕ ПУТА ДА СЕ МЕЊА ЗНАК, ЗАВИСИ ОД ТОГА КОЛИКО ЈЕ ЗАДАТАК КОМПЛИКОВАН.
1. Да ли у задатку постоје заграде? ДА
2. Да ли су у загради само бројеви?
Да, тада решимо рачунску операцију у загради и наставимо задатак
Не, у загради је и непозната. Тада целу заграду посматрамо као непознати члан и решавамо као неједначину из таблице, само што је цела заграда х
3. Да ли у задатку постоје заграде? НЕ, прелазимо на следеће питање
4. Да ли је непозната помножена или подељена са неким бројем, а поред тог записа је рачунска операција сабирања иили одузимања?
(на пример пише 2:х-1>0)
ДА, онда цео тај израз (2:х) пишеш као непознати члан једначине и решаваш као неједначину из таблице
НЕ, онда изведеш рачунске операције које можеш и решиш неједначину као из таблице
ОВДЕ ЈАКО ВОДИШ РАЧУНА О ЗНАКУ НЕЈЕДНАКОСТИ. АКО ЈЕ НЕПОЗНАТ УМАЊИЛАЦ ИЛИ ДЕЛИЛАЦ ОНДА СЕ МЕЊА ЗНАК НЕЈЕДНАКОСТИ. МОГУЋЕ КЕ О ВИШЕ ПУТА ДА СЕ МЕЊА ЗНАК, ЗАВИСИ ОД ТОГА КОЛИКО ЈЕ ЗАДАТАК КОМПЛИКОВАН.