Закорачимо у свет историјских задатака који су вековима мучили људе, а и данас их муче...
АРХИМЕДОВ СТОМАКИОН, ОКО 250. ПРЕ НАШЕ ЕРЕ
Године 1941. Математичар Г. Х. Харди написао је да ће се „Архимед памтити, а драмски писац Есхил заборавити, јер језици изумиру, а математичке идеје живе вечно“. И стварно, старогрчки геометричар сматра се највећим научником антике. Године 2002. историчар математике Ревијел Нец сагледао је на нов начин Архимедов рад о слагалици познатој као „Стомакион“. Проучавајући тај древни спис, он је схватио да загонетка спада у област комбинаторике, математичке гране која проучава на колико начина један проблем може да се реши. Задатак „Стомакиона“ јесте да откријете на колико начина 14 облика слагалице може да се сложи тако да чине квадрат. Године 2003. математичари су пронашли решење: на 17.152 начина.
Године 1941. Математичар Г. Х. Харди написао је да ће се „Архимед памтити, а драмски писац Есхил заборавити, јер језици изумиру, а математичке идеје живе вечно“. И стварно, старогрчки геометричар сматра се највећим научником антике. Године 2002. историчар математике Ревијел Нец сагледао је на нов начин Архимедов рад о слагалици познатој као „Стомакион“. Проучавајући тај древни спис, он је схватио да загонетка спада у област комбинаторике, математичке гране која проучава на колико начина један проблем може да се реши. Задатак „Стомакиона“ јесте да откријете на колико начина 14 облика слагалице може да се сложи тако да чине квадрат. Године 2003. математичари су пронашли решење: на 17.152 начина.
ЖИТО НА ШАХОВСКОЈ ТАБЛИ, 1256.
Проблем Сисине шаховске табле, који је разматрао арапски историчар Ибн Халикан 1256. године, користи се вековима да би се демонстрирала геометријска прогресија, и једна је од најстаријих шаховских загонетки. Легенда каже да је краљ Ширхам понудио награду која се састојала од зрна жита распоређених на шаховској табли: једно зрно на првом пољу, два на другом, четири на трећем и тако до последњег - 64. поља. Међутим, краљ није схватио колико ће то бити жита. Испало је да краљ треба да поклони 18.446.744.073. 709.551.615 зрна жита. Тиме би се напунили вагони који 1.000 пута „обавијају“ Земљу.
Проблем Сисине шаховске табле, који је разматрао арапски историчар Ибн Халикан 1256. године, користи се вековима да би се демонстрирала геометријска прогресија, и једна је од најстаријих шаховских загонетки. Легенда каже да је краљ Ширхам понудио награду која се састојала од зрна жита распоређених на шаховској табли: једно зрно на првом пољу, два на другом, четири на трећем и тако до последњег - 64. поља. Међутим, краљ није схватио колико ће то бити жита. Испало је да краљ треба да поклони 18.446.744.073. 709.551.615 зрна жита. Тиме би се напунили вагони који 1.000 пута „обавијају“ Земљу.
ХАНОЈСКА КУЛА, 1883.
Чувену Ханојску кулу измислио је француски математичар Едуар Лика 1883. године, а првобитно се продавала као играчка. Задатак се састоји у томе да се кругови, поређани по величини на једном стубићу (најмањи је на врху), преместе на други стубић у најмањем броју потеза. У једном потезу дозвољено је преношење само једног круга, при чему се већи не сме стављати на мањи. При преношењу је дозвољено коришћење сва три стубића. Испоставља се да најмањи број потеза износи 2н - 1, где је н број кругова. То значи да ако имамо 64 круга и сваки померамо брзином од једне секунде, премештање ће трајати приближно 585 милијарди година.
Чувену Ханојску кулу измислио је француски математичар Едуар Лика 1883. године, а првобитно се продавала као играчка. Задатак се састоји у томе да се кругови, поређани по величини на једном стубићу (најмањи је на врху), преместе на други стубић у најмањем броју потеза. У једном потезу дозвољено је преношење само једног круга, при чему се већи не сме стављати на мањи. При преношењу је дозвољено коришћење сва три стубића. Испоставља се да најмањи број потеза износи 2н - 1, где је н број кругова. То значи да ако имамо 64 круга и сваки померамо брзином од једне секунде, премештање ће трајати приближно 585 милијарди година.
КАНАП ОКО СВЕТА, 1702.
Овај „бисер“ из 1702. године показује како интуиција може да нас превари.
Замислите да имате канап који је чврсто обавијен око „екватора“ кошаркашке лопте. Колико треба да продужите канап да би он био једну стопу (30 cm) удаљен од сваке тачке дуж те линије? Замислите затим да канап обавија лопту величине Земљине кугле, што значи да је дугачак приближно 40.234 километра. Колико морате да га продужите па да буде удаљен од тла једну стопу (30 cm) дуж целог екватора? Одговор ће вас изненадити: канап ће бити у оба случаја, и за лопту и за Земљу, дужи за 2 π (или око 191 сантиметар). Ако је r полупречник Земље, а 1+r полупречник увећаног круга у сантиметрима, можемо да упоредимо обим кружница пре - 2 π r - и после - 2 π (1 + r).
Овај „бисер“ из 1702. године показује како интуиција може да нас превари.
Замислите да имате канап који је чврсто обавијен око „екватора“ кошаркашке лопте. Колико треба да продужите канап да би он био једну стопу (30 cm) удаљен од сваке тачке дуж те линије? Замислите затим да канап обавија лопту величине Земљине кугле, што значи да је дугачак приближно 40.234 километра. Колико морате да га продужите па да буде удаљен од тла једну стопу (30 cm) дуж целог екватора? Одговор ће вас изненадити: канап ће бити у оба случаја, и за лопту и за Земљу, дужи за 2 π (или око 191 сантиметар). Ако је r полупречник Земље, а 1+r полупречник увећаног круга у сантиметрима, можемо да упоредимо обим кружница пре - 2 π r - и после - 2 π (1 + r).
КЕНИГЗБЕРШКИ МОСТОВИ, 1736.
Теорија графова је математичка област која се бави начинима повезаности предмета и често има облик проблема са тачкицама и линијама које их повезују. Један од најстаријих таквих проблема односи се на мостове града Кенигзберга (данашњег Калињинграда) који повезују две обале реке и два острва. Почетком 18. века људи су се запитали да ли могу да пређу преко свих седам мостова, а да при том не пређу ниједан мост два пута и да се врате одакле су кренули. Године 1736. швајцарски математичар Леонард Ојлер доказао је да је то могуће. Данас се теорија графова користи у проучавању протока саобраћаја и друштвених мрежа корисника Интернета.
Теорија графова је математичка област која се бави начинима повезаности предмета и често има облик проблема са тачкицама и линијама које их повезују. Један од најстаријих таквих проблема односи се на мостове града Кенигзберга (данашњег Калињинграда) који повезују две обале реке и два острва. Почетком 18. века људи су се запитали да ли могу да пређу преко свих седам мостова, а да при том не пређу ниједан мост два пута и да се врате одакле су кренули. Године 1736. швајцарски математичар Леонард Ојлер доказао је да је то могуће. Данас се теорија графова користи у проучавању протока саобраћаја и друштвених мрежа корисника Интернета.
РУБИКОВА КОЦКА, 1974.
Рубикову коцку измислио је мађарски вајар и професор архитектуре Ерне Рубик 1974. године. До 1982. године десет милиона коцки продато је у Мађарској, више него што ова земља има становника. Верује се да је широм света продато преко 350 милиона такозваних „мађарских коцки“. Коцку чини 3 x 3 x 3 реда мањих коцки чијих је шест страна обојено у различите боје. Двадесет шест спољњих мањих коцки су тако спојене да се тих шест страница могу окретати. Циљ играчке је да се њени делови поставе тако да свака страна буде у једној боји. Укупно има 43.252.003.274.489.856.000 различитих начина склапања мањих коцки. Када бисте имали по једну коцку за све ове „легалне“ положаје, могли бисте да покријете површину Земље, укључујући и океане, око 250 пута.
Рубикову коцку измислио је мађарски вајар и професор архитектуре Ерне Рубик 1974. године. До 1982. године десет милиона коцки продато је у Мађарској, више него што ова земља има становника. Верује се да је широм света продато преко 350 милиона такозваних „мађарских коцки“. Коцку чини 3 x 3 x 3 реда мањих коцки чијих је шест страна обојено у различите боје. Двадесет шест спољњих мањих коцки су тако спојене да се тих шест страница могу окретати. Циљ играчке је да се њени делови поставе тако да свака страна буде у једној боји. Укупно има 43.252.003.274.489.856.000 различитих начина склапања мањих коцки. Када бисте имали по једну коцку за све ове „легалне“ положаје, могли бисте да покријете површину Земље, укључујући и океане, око 250 пута.
РАСЕЛОВ ПАРАДОКС, 1901.
Године 1901. британски филозоф и математичар Бертранд Расел открио је могући парадокс који је уводио потребу за модификовањем теорије скупова. Једна верзија Раселовог парадокса говори о граду са једним мушким берберином који сваког дана брије оне мушкарце који не брију сами себе, и никог другог. Да ли берберин брије самог себе? По овом сценарију испада да се берберин брије ако и само ако не брије себе! Расел је схватио да мора да измени теорију скупова како би избегао овакву конфузију. Један од начина да се обори овај парадокс састојао би се у томе да једноставно кажемо да такав берберин не постоји. Упркос томе, математичари Курт Гедел и Алан Туринг открили су да је Раселова теорија корисна за проучавање различитих грана математике и обраде информација.
Године 1901. британски филозоф и математичар Бертранд Расел открио је могући парадокс који је уводио потребу за модификовањем теорије скупова. Једна верзија Раселовог парадокса говори о граду са једним мушким берберином који сваког дана брије оне мушкарце који не брију сами себе, и никог другог. Да ли берберин брије самог себе? По овом сценарију испада да се берберин брије ако и само ако не брије себе! Расел је схватио да мора да измени теорију скупова како би избегао овакву конфузију. Један од начина да се обори овај парадокс састојао би се у томе да једноставно кажемо да такав берберин не постоји. Упркос томе, математичари Курт Гедел и Алан Туринг открили су да је Раселова теорија корисна за проучавање различитих грана математике и обраде информација.
ПАРАДОКСИ - КАКО ЈЕ ТО МОГУЋЕ ?!
Парадокс (грч. παράδοξος, paradoksos = немогућ; para- = супротан, doksa = мишљење), је истинита тврдња која води до контрадикције. Такође се користи да опише ситуације које су ироничне.
Појам парадокса најбоље описује реченица "наизглед апсурдно, али ипак истинито."
Појам парадокса најбоље описује реченица "наизглед апсурдно, али ипак истинито."